Задачи о форме земли

Автор: 4.11.2012

В первом приближении задачу о форме Земли, вращающейся вокруг своей оси с небольшой скоростью, решил И. Ньютон. Он доказал, что в результате вращения Земля сжата у полюсов и, иначе говоря, полярный диаметр Земли приблизительно на 1/230 короче экваториального диаметра.

Через 50 лет после Ньютона два других видных английских математика А. Стирлинг (1692—1770) и К. Маклорен (1698—1746) впервые решили общую задачу о фигуре равновесия жидкой массы, вращающейся с произвольной скоростью, и нашли, что она будет сжатой у полюсов двухосным эллипсоидом. Чем меньше скорость вращения, тем меньше сжатие, тем меньше эллипсоид отличается от шара. Казалось бы, все хорошо! В руках у ученых оказалась теория, на основе которой можно было создавать новую науку об изменении силы тяжести на земной поверхности — гравиметрию Найденный теоретическим путем эллипсоид вращения стали с тех пор называть эллипсоидом Маклорена.

Но вот прошло еще 30 лет, и два французских ученых Ж. Даламбер (1717—1783) и П. Лаплас выяснили, что для каждой величины скорости вращения существует не один, а два и притом не похожих друг на друга сжатых эллипсоида Маклорена (один из них был ранее найден Стирлингом и Маклореном). Один из них при малой скорости вращения почти не отличается от шара. К этому эллипсоиду приближается форма не только Земли, но и всех остальных планет Солнечной системы — Меркурия, Венеры, Марса и других. За ним мы сохраним название «планетный эллипсоид Маклорена». У планетного эллипсоида Маклорена сжатие возрастает при увеличении скорости вращения.

Второй же эллипсоид Маклорена, открытый Даламбером и Лапласом, по своим свойствам—полная противоположность планетному. С возрастанием скорости вращения его сжатие не увеличивается, а, наоборот, уменьшается. Если планетный эллипсоид мало отличается от шара, то второй похож на плоскую круглую лепешку (диск). Чем медленнее вращение, тем тоньше становится второй эллипсоид, а при отсутствии вращения (скорость вращения равна нулю) он вообще перестает существовать. Чтобы отличить второй, плоский, эллипсоид Маклорена от первого, планетного, мы будем называть его дискообразным.

Казалось, что с открытием дискообразного эллипсоида на поисках фигур равновесия можно было бы поставить точку, тем более, что крупный ученый того времени Лагранж доказал теорему о том, что среди всевозможных эллипсоидов только планетный и дискообразный эллипсоиды Маклорена могут быть фигурами равновесия вращающейся жидкости. Из его теоремы вытекало, что если существуют новые, неизвестные фигуры равновесия, то их нужно искать не среди «эллипсоидов, а среди тел совсем другой формы.

Однако научные поиски на этом не закончились. В 1834 г. знаменитый немецкий математик К. Якоби (1804—1851), изучая труды Лагранжа, нашел в его доказательстве ошибку. Исправив ее, он пришел к выводу, что помимо двух типов эллипсоидов Маклорена существует еще третий тип эллипсоидов, названных впоследствии эллипсоидами Якоби. Новые эллипсоиды совершенно не похожи на эллипсоиды Маклорена. Эллипсоиды Маклорена двухосные и сжатые в направлении оси вращения, а эллипсоиды Якоби трехосные, вытянуты перпендикулярно оси вращения и по форме напоминают ткацкое веретено. Астрономы их часто называют веретенообразными.